Με την εκδημία του Ποντίφικα αρχίζει η διαδικασία διαδοχής του. Ο Αμερικανοϊρλανδός καρδινάλιος Κέβιν Φάρελ, καμερλένγκο (ανώτερος αξιωματούχος της Αγίας Εδρας), θα διοικεί τη Ρωμαιοκαθολική Εκκλησία όσο ο παπικός θρόνος παραμένει κενός.
Μαζί με τρεις ακόμη καρδινάλιους θα αποφασίσει πότε θα τεθεί σε λαϊκό προσκύνημα στη Βασιλική του Αγίου Πέτρου η σορός του Φραγκίσκου και θα γίνει η κηδεία και ταφή, αφού προηγουμένως θα έχει καταστρέψει την παπική σφραγίδα, για να μη χρησιμοποιηθεί για επικύρωση εγγράφων, και θα έχει σφραγίσει τα δωμάτια του Πάπα.
Παραδοσιακά περίπου δύο-τρεις εβδομάδες μετά τον θάνατο του επικεφαλής της Ρωμαιοκαθολικής Εκκλησίας συνέρχεται το Κονκλάβιο, το σώμα των εκλεκτόρων που θα εκλέξει τον επόμενο Πάπα. Οι καρδινάλιοι ηλικίας ως 80 ετών κλείνονται στην Καπέλα Σιστίνα μέχρις ότου βγει λευκός καπνός, που σημαίνει ότι εξελέγη νέος Ποντίφικας που εξασφάλισε τις ψήφους των 2/3 του σώματος.
Μπορεί να διεξαχθούν δεκάδες γύροι μυστικής ψηφοφορίας μέχρις ότου φανεί λευκός καπνός. Σήμερα υπάρχουν 240 καρδινάλιοι ανά τον κόσμο και 138 είναι ηλικίας κάτω των 80, οπότε μετέχουν στη διαδικασία. Το 80% έχει επιλέξει ο Φραγκίσκος. Ενας από αυτούς θα είναι ο διάδοχος του Φραγκίσκου.
Επικρατέστερος θεωρείται ο νυν υπουργός Εξωτερικών του Βατικανού, ο 70χρονος καρδινάλιος Πιέτρο Παρολίν, στενός συνεργάτης του Φραγκίσκου που συμμερίζεται τις προοδευτικές ιδέες του. Στα ονόματα που ακούγονται έντονα είναι και ο Λατίνος Πατριάρχης της Ιερουσαλήμ, Πιερμπατίστα Πιτσαμπάλ.
Αν γίνει η επιλογή ο επόμενος Πάπας να προέρχεται από την Ασία, στα φαβορί συγκαταλέγονται ο καρδινάλιος Φιλιππίνων, Λουίς Τάγκλε, ο Αρχιεπίσκοπος Μάλκολμ Ραντζίθ, από τη Σρι Λάνκα, ο καρδινάλιος Τσαρλς Μπο, από τη Μιανμάρ. Αν οι καρδινάλιοι αποφασίσουν να εκλέξουν τον πρώτο μαύρο Πάπα, μπορεί να είναι ο Ρόμπερτ Σάρα από τη Γουινέα ή ο καρδινάλιος Πίτερ Τάκσον από την Γκάνα, σύμφωνα με δημοσιεύματα.
Μεταξύ των Ευρωπαίων ξεχωρίζουν ο επίτιμος επίσκοπος Γένοβας, Αντζελο Μπανιάσκο, ο επίσκοπος Μπολόνια, Ματέο Τζούπι, ο Αρχιεπίσκοπος Βουδαπέστης, Πέτερ Ερντο, ο Αρχιεπίσκοπος Ουτρέχτης, Βίλεμ Εάικ και ο επίσκοπος Στοκχόλμης, Αντερς Αρμπορέλιους. Στη μακρά λίστα των Ευρωπαίων υποψηφίων περιλαμβάνονται και ο καρδινάλιος Ζαν-Μαρκ Αβελίν από τη Μασσαλία και ο Μάριο Γκρετς από τη Μάλτα.
